Гаев – фамилия, сохранившая в себе римскую силу и величие. Фамилия Гаев происходит от мирского некрестильного имени предка-основателя родовой фамилии – Гай. В давние времена, имя, даваемое человеку при крещении, не афишировалось и сохранялось в тайне от посторонних людей по причине бытовавших в народе суеверий: якобы колдун, ведьмак, либо кто-либо еще, имеющий способность нанести человеку вред, посредством колдовства, сотрудничества с темными силами, обязательно должен произнести при заклятии его имя. Поэтому наряду с именем крестильным, чаще всего давалось и второе – мирское, некрестильное имя, прозвище. По народным верованиям, оно не было связано с духовным миром человека и его использование не сможет каким-либо образом навредить его носителю. Мирское имя носило характер прозвища и его происхождение связывалось с теми или иными качествами человека, как физическими, так и духовными, полученными при рождении, либо заработанными в процессе жизни. Так могло возникнуть имя от названия местности, где жил человек. В этом случае прозвище произошло на малороссийских землях, поскольку именно на украинском языке слово «гай» обозначает «роща». В такой местности, либо селении с этим названием, видимо, и проживал человек по имени Гай, далекий предок рода Гаевых. Безусловно, имя Гай, в качестве мирского прозвища возникало и в Великороссии, но в этом случае оно имело несколько другое значение – на Руси понятиями «вай, гай, хай» обозначали шум. Также возможно и происхождение имени Гай от однокоренного римского личного имени, обозначающего «рожденный землей». В Посланиях апостола Павла упоминается Гай - странноприимец в Коринфе, крещенный апостолом Павлом; к Гаю также обращено 3-е послание апостола Иоанна. Покровителем этого имени в христианстве можно считать святого Гая (Gaius), римского епископа, римского папу, правившего с 283 по 296 год. Гай жил в спокойные для христианства времена, а потому о понтификате его ничего не известно. Согласно истории мученицы Сусанны, племянницы епископа, Гай находился в родстве с императором Диоклетианом, что вряд ли соответствует действительности. В искусстве святой Гай традиционно изображается в папской тиаре вместе со святым Нереем и особо почитается в Венеции и Далмации. Патронимический суффикс «-ев», находящийся в составе фамилии, является великорусской фамилиеобразующей частицей и указывает нам на окончательное происхождение фамилии, в нынешнем ее составе, на территории России не ранее XVI века. Таким образом, фамилии, имеющие в своем составе корень «гай» и происходящие подобным образом – от имени Гай и его производных, такие как Гаич, Гаинич, Гаиничев, Гаевич, Гаевский, Гайкин, Гаевой, Гаин, Гаевичев, Гай, Гаенко и другие, подобные им, будут являться по происхождению родственными фамилии Гаев. Упоминания о представителях фамилии Гаев и родственных ей встречаются в памятных книгах Бессарабской, Пермской, Варшавской, Виленской, Воронежской, Екатеринославской, Енисейской, Калишской, Киевской, Ломжинской, Орловской, Подольской, Радомской, Рязанской, Самарской, Санкт-Петербургской, Ставропольской, Сувалкской, Таврической, Тверской, Херсонской и других губерний Российской империи, а также в книгах Области войска Донского. Источники: Толковый словарь живого великорусского языка, Даль; Украинско-русский словарь; Словарь русских народных говоров; Словарь русских популярных фамилий, Петровский; Русские фамилии. Популярный этимологический словарь, Федосюк.

Генетическая родословная, о которой вы не подозреваете.